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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 1 - Números reales

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4. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real.
d) $\left\{x \in \mathrm{R}, \frac{25}{x}+3>-2\right\}$

Respuesta

$\frac{25}{x}+3>-2$


Reducimos la expresión a una sola fracción, buscando que nos quede el cero del lado derecho


$\frac{25}{x}+3>-2$


$\frac{25}{x}+3+2>0$ 

$\frac{25}{x}+5>0$


Podemos reescribir el 5 como una fracción colocándole un 1 como denominador, y así podemos hacer suma de fracciones, para obtener una única fracción del lado izquierdo de la desigualdad:


$\frac{25}{x}+\frac{5}{1}>0$


Acá sumamos tal como vimos en el video de suma y resta de fracciones, y nos queda:

$\frac{25+5x}{x}>0$  



Tal como se explica en el video de inecuaciones, al tener una división cuyo resultado es menor a cero $(>0)$, la única posibilidad para que ocurra esto es que tanto numerador como denominador tengan el mismo signo. De esta forma podemos platear dos casos:   



Caso 1:

$25+5x>0$   y   $x>0$   

$5x>-25$    y     $x>0$

$x>-\frac{25}{5}$   y     $x>0$

$x>-5$  y    $x>0$  

2024-03-09%2016:32:57_8512020.png

Los valores de $x$ que cumplen estas condiciones son los valores $x>0$. Por lo tanto la solución del caso 1 estará dada por los valores de $x$ pertenecientes al conjunto $(0,+\infty)$. Es decir, $S_1 = (0,+\infty)$. 



Caso 2:

$25+5x<0$    y      $x<0$  

$5x<-25$    y   $x<0$

$x< -\frac{25}{5}$     y      $x<0$

$x< -5$  y    $x<0$  

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Los valores de $x$ que cumplen estas condiciones son los valores $x<-5$. Por lo tanto la solución del caso 2 estará dada por los valores de $x$ pertenecientes al conjunto $(-\infty,-5)$. Es decir, $S_2 = (-\infty,-5)$. 



Por lo tanto la solución total será la unión de ambas soluciones: $S_1 \cup S_2$
  Solución: $x\in (-\infty,-5) \cup (0,+\infty)$.


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Avatar guad 20 de abril 19:26
Hola! Una consulta, por qué al quedarnos con el "25/x +5" no se aplica el factor común y dejamos al 5 como "5/x"?
Avatar Julieta Profesor 21 de abril 08:44
@guad Hola Guada! Interesante tu planteo. Vos decís que cuando nos queda $\frac{25 + 5x}{x} >0$, podríamos sacar al $5$ como factor común en el numerador para factorizarlo. Y realmente podrías hacerlo, te quedaría: $\frac{5 (5 + x)}{x} >0$, y después plantearías los casos y resolverías. Pero al hacer eso, sería más engorroso hacer las inecuaciones. Terminarías haciendo la distributiva para obtener la expresión desarrollada: $5 (5 + x)$ -> $25+5x$

Si querés podes probarlo y ver que pasa justamente eso.
Avatar Julieta Profesor 21 de abril 08:45
@guad Ah! Me acabo de dar cuenta que tu duda era sobre el paso anterior!! Ahí le pregunté a ExaBoti para que lo pruebes jaja, respondió mejor que yo: 


2025-04-21%2008:45:50_3180953.png
Avatar Brenda 13 de abril 20:55
hola juli, no me queda claro cuando debo pasar un numero a la izquierda o a la derecha 
Avatar Julieta Profesor 14 de abril 12:30
@Brenda Hola Bren! En este tipo de ejercicios siempre buscamos que nos quede el 0 del lado derecho. Es decir que vas a preferir que te quede la $x$ del lado izquierdo. Hice un video que tiene un apunte incluido sobre este tema, buscalo en la sección de números reales. Es suuuper importante porque este tema lo toman mucho.
Avatar Rosario 13 de abril 20:52
Profe una duda, en cuarto paso,cuando estamos despejando el dos, queda 25+5x , todo esto sobre x. La duda es de donde salió la x de arriba, o sea la q acompaña al 5. No se si me pude explicar bien.. gracias 
Avatar Julieta Profesor 14 de abril 12:28
@Rosario Hola Ro! Buena pregunta!! Esa $x$ aparece ahí porque hicimos suma de fracciones de distinto denominador: 

$\frac{25}{x}+5>0$

$\frac{25}{x}+\frac{5}{1}>0$

$\frac{25+5x}{x}>0$  
Avatar tao 6 de mayo 11:51
hola profe, por que no puedo hacer 25+5/x cuando paso el 2 para el otro lado? o sea yo hubiera hecho que quede 30/x pero no entiendo porque no se puede, gracias 
Avatar Julieta Profesor 11 de mayo 03:53
@tao Hola Tao, nop, acá aplican las mismas reglas de jerarquía que vimos en el apunte de cálculos combinados. Empezá separando en término y después seguí esas reglas :D
Avatar Merly 24 de abril 21:48
Hola Juli, por qué el 5 pasa con signo positivo a la fraccion y no con signo negativo.

Avatar Julieta Profesor 27 de abril 06:38
@Merly ¡Hola Merly! Porque está pasando multiplicando. Al pasar números del otro lado del igual en operaciones de multiplicación/división el número conserva su signo. Es diferente en la suma/resta, donde pasan del otro lado con el signo contrario.
Avatar Malena 9 de abril 15:14
Hola Juli! No entendí de donde sale la x que se le pone al 5 cuando se reduce la fracción, al principio 
Avatar Julieta Profesor 11 de abril 10:00
@Malena Hola Male ¿Cuál? 
Avatar Malena 11 de abril 17:05
Al principio, al reducir la fracción, sumando 3+2 ahi queda un 5, y cuando lo haces una sola fracción usando la X como denominador, queda 25+5x sobre x. No entiendo porque se le agrega la x a ese 5
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